まちゃみ(@machami1913247)です。世界大会に使用した全方位ミラーについて、その断面の式の導出について書こうと思います。

 

が、

 

  • まるまる乗っけたら最後の数字だけ読まれてコピーするだけになってしまう
  • 導出過程が重要でそこを無くしたら面白くない
  • そもそもかなり雑な導出なので他の人に見せたくない

 

という理由から、

 

導出過程は載せるが数式は全て虫食いに

 

という誰得記事を書くことにしました。まあ、数学の教科書片手に読んでいただければ解けるはずなので頑張ってください。

 

解説に移ります。

※以下の成分を含みます

・双曲線の式

・微分

・三角関数

 

まずミラーの概形ですが、双曲線を用います。カメラから見える画像の中心からの距離と実際の距離が比例するらしいですね。その式が以下になります。

 

2焦点がy軸上にある、=-1の方を使います。これをyについて解くと

 

y=

 

となります。±が出てきますが、+y側の曲線のみ求めればよいので+としておきます。

この式を見てお分かりの方も多いでしょうが、未定数a,b2つを求めることで求める式が手に入るというわけですね。

さて、未定数が2つならば独立な2つの式を連立して解けばよい、といえます。設計条件として幾つかのパラメータを設定しておき、それらを元に2つの式を立てる、という方針で行きたいと思います。

以下の図を見ていただきましょう。

スライド2

この図から、以下の設計条件を設定します。

Pixyの縦方向画角47°がぴったり収まる

②ミラー最外縁部での反射光は水平に入射する

③直径D46mmとする

 

①によって、Pixymonで見える画面の上下と、ミラーの直径が一致するようにしました。②の水平入射については、十分な視界を確保するためという他に計算を簡単にするという理由もあります。③の直径については手に入ったアクリルパイプから決定しました。

 

直径と画角より、焦点距離を決定することができます。また、焦点距離cを求める式に代入して一本目の式が得られます。

 

c=                                           [I]

 

 

続いて、以下の図をご覧ください。

スライド3

ミラー最外縁での接線と反射光、画角の関係を表しています。

これらにより、この点での接線の傾きを求めることができます。

双曲線の式をyについて解いた式を、xについて微分した、

 

dy/dx=                                            [II]

 

という式に接線の傾きを代入し、二つ目の式が出来上がります。

[I][II]式を連立することで、2つの未定数を定め、曲面の式が得られます。

今回はここまでです。